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In mwcqfisica, lmwcg'mwcwelasticità è la proprietà che permette ad un mwdacorpo di mwdqdeformarsi sotto l'azione di una mwdgforza esterna e di riacquisire, se le mwdwdeformazioni non risultano eccessive, la sua forma originale al venir meno della causa sollecitante. Se il corpo, cessata la sollecitazione, riassume esattamente la configurazione iniziale è detto perfettamente elasticocite-ref-2-1-0[1].

L'elasticità riguarda sia i corpi mwfqsolidi che i mwfgfluidi. I primi possiedono sia elasticità di forma che di mwfwvolume, reagiscono cioè elasticamente alle sollecitazioni che tendono a deformare il volume del corpo e a cambiare i suoi angoli; i fluidi invece presentano solo elasticità di volume, in quanto reagiscono elasticamente a una mwgacompressione o espansione ma non oppongono resistenza al cambiamento di forma, che dipende dal recipientecite-ref-2[2].

• Descrizione

• Origine atomica del comportamento elastico

• Elasticità lineare del continuo

• Deformazioni

• Sforzi

• Densità di energia di deformazione

• Note

• Bibliografia

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

La sollecitazione massima che garantisce il comportamento elastico del materiale è detta limite di elasticità e, nel caso venga superata, si entra nella regione di comportamento mwjqplastico del pezzo, che consiste nel mwjgcedimento o nel flusso del materiale, a seconda che sia fragile o duttile rispettivamentecite-ref-3[3]. Il limite di elasticità trattandosi di una mwlqtensione interna è misurato in mwlgPascal, ovvero una forza per unità di superficie:

mwma Pa = N m 2 = kg ⋅ ⋅ m s 2 × × 1 m 2 = kg s 2 ⋅ ⋅ m {\displaystyle {\ce {Pa}}={\frac {{\ce {N}}}{{\ce {m^2}}}}={\frac {{\ce {kg.m}}}{{\ce {s^2}}}}\times {\frac {{\ce {1}}}{{\ce {m^2}}}}={\frac {{\ce {kg}}}{{\ce {s^2.m}}}}}

Se il materiale è mwmgduttile, ovvero che permette mwmwplasticizzazioni, il limite elastico è la mwnatensione di snervamento, mentre nel caso di mwnqmateriali fragili, che sono privi del campo plastico, il limite elastico è la mwngrottura del materialecite-ref-2-1-1[1].

Il mwpamodello matematico più semplice di rappresentazione del comportamento elastico è quello mwpqlineare della mwpglegge di Hooke (e della mwpwlegge di Hooke generalizzata nel caso di stati tensionali pluriassiali), che nel caso di stato di sforzo monoassiale, tipico delle mwqaprove di trazione, è: mwqq σ σ = E ϵ ϵ {\displaystyle \sigma =E\epsilon } dove mwqg σ σ = F A 0 {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A_{0}}}} è lo sforzo agente nel provino raffigurato in figura con mwqw F {\displaystyle F} forza applicata alle sue estremità ed mwra A 0 {\displaystyle A_{0}} superficie della sezione trasversale iniziale, mwrq ϵ ϵ = Δ Δ L L 0 {\displaystyle \epsilon ={\frac {\Delta L}{L_{0}}}} la deformazione del provino ovvero il suo allungamento relativo, con mwrg Δ Δ L = L f − − L 0 {\displaystyle \Delta L=L_{f}-L_{0}} allungamento assoluto del provino, ossia la differenza fra la lunghezza finale mwrw L f {\displaystyle L_{f}} e quella iniziale mwsa L 0 {\displaystyle L_{0}} ed mwsq E {\displaystyle E} il mwsgmodulo di Young (o elastico), che è la costante di proporzionalità fra gli sforzi e le deformazioni in campo elastico.

Tale modello riveste un aspetto fondamentale sia in ambito mwtateorico, per la possibilità di pervenire ad uno studio matematico completo dei problemi formulati, sia in ambito mwtqingegneristico, per la ricaduta che esso ha nella modellazione e risoluzione di problemi di interesse tecnico e scientifico. Altri più complessi modelli matematici di elasticità mwtgnonlineare, importanti per la rappresentazione del comportamento delle gomme, fanno riferimento al modello di mwtwmateriale iperelastico, mentre per mezzi porosi il modello si declina nella mwuaporoelasticità.

Lo studio dei corpi solidi elastici è oggetto della mwugteoria dell'elasticità, una branca della mwuwmeccanica dei solidi.

Il comportamento elastico dei diversi materiali ha origini microscopiche che si distinguono in base al particolare tipo di materiale. Possiamo parlare infatti di "elasticità entalpica" ed "elasticità entropica".

L'elasticità entalpica è caratteristica dei materiali cristallini, e deriva da un fenomeno che avviene a livello atomico. Le proprietà elastiche di questi materiali derivano dal tipo di interazione che si instaura fra i loro mwwaatomi costituenti, quando questi sono sottoposti ad un carico esterno. Se tali interazioni determinano un mwwqdislocamento degli atomi contenuti, questi, una volta rimosso il carico, riescono a rioccupare la loro posizione iniziale ed il materiale è detto elastico; se perdipiù il dislocamento è sufficientemente piccolo, è garantita la diretta mwwgproporzionalità fra mwwwdeformazione e carico ed è valida pertanto la mwxalegge di Hookecite-ref-4[4].

Il fitto mwygreticolo cristallino di questi materiali permette solamente piccole deformazioni e spostamenti locali, da cui derivano l'alto limite di elasticità ed il grande mwywmodulo elastico. Questo comporta la necessità di esercitare elevate mwzatensioni per ottenere deformazioni rilevanti. Nel caso in cui si rimanga al di sotto dello mwzqsforzo di snervamento del materiale, il rapporto tra sforzo e deformazione è pari alla costante modulo elastico o mwzgmodulo di Young, che rappresenta la proporzionalità fra sforzo e deformazione nel campo lineare del materiale, descritta dalla mwzwlegge di Hooke, e determina la pendenza del tratto rettilineo nel diagramma sforzo-tensione della prova monoassiale rappresentata in figuracite-ref-0-5-0[5]cite-ref-6[6].

L'elasticità dipende quindi dalla struttura microscopica del materiale e dalle forze di interazione che agiscono fra gli atomi che lo compongono. In particolare va considerata l'energia potenziale esistente tra ogni coppia di atomi, che può essere espressa in funzione della loro distanza. A una certa distanza dmwcg0 i due atomi sono in equilibrio, ossia la risultante delle forze di interazione tra i due è nulla. La variazione di tali forze (a causa della sollecitazione esterna) fa variare la mwcwdistanza reciproca tra le particelle (producendo a livello macroscopico la deformazione del mwdacorpo: nel caso di trazione, per esempio, si ha uno "stiramento" dei legami). Per livelli relativamente bassi delle sollecitazioni, il mwdqlavoro meccanico necessario viene accumulato come mwdgenergia elastica, all'interno del materiale, e viene restituito interamente al venir meno della causa sollecitante mentre le particelle ritornano alla loro posizione iniziale (il corpo riacquista la sua forma e dimensioni originarie). L'energia immagazzinata nel materiale è quantificabile dalla seguente relazione: mwdw L = ∫ ∫ 0 ϵ ϵ f σ σ ( ϵ ϵ ) d ϵ ϵ {\displaystyle L=\int _{0}^{\epsilon _{f}}\sigma (\epsilon )d\epsilon } che graficamente è rappresentata dall'area sottesa alla curva tensione-deformazione rappresentata in figura, dove mwea L {\displaystyle L} è il lavoro svolto di deformazione, immagazzinato nel materiale come energia elastica, mweq σ σ ( ϵ ϵ ) {\displaystyle \sigma (\epsilon )} è l'andamento dello sforzo in funzione della deformazione mweg ϵ ϵ {\displaystyle \epsilon } , ed mwew ϵ ϵ f {\displaystyle \epsilon _{f}} è la deformazione finale che si raggiunge applicando il carico esternocite-ref-7[7].

Questo meccanismo è alla base del comportamento elastico macroscopico dei diversi materiali, ma al variare del tipo di mwgqmateriale, e dunque della struttura microscopica, si delineano comportamenti elastici differenticite-ref-0-5-1[5].

L'elasticità entropica è caratteristica dei materiali polimerici costituiti a livello molecolare da catene; tale elasticità scaturisce da un movimento delle catene da uno stato ad elevata entropia (lo stato più probabile, in cui le catene sono aggrovigliate) a uno stato a bassa entropia (uno stato meno probabile, più ordinato, in cui le catene sono allineate), che avviene durante l'allungamento del materiale.

Materiali polimerici come la mwjqgomma, essendo costituiti a livello microscopico da molecole a catena, permettono grandi scorrimenti e deformazioni, e pertanto sono caratterizzati da bassi limiti di elasticità e piccolo mwjgmodulo di elasticità. Ciò significa che a sforzi e tensioni relativamente bassi corrispondono già deformazioni apprezzabili macroscopicamente, così come punti di snervamento o rottura molto bassi. Questi materiali sono detti mwjwelastomeri, con un comportamento cosiddetto ad "mwkaalta elasticità" rispetto alla "mwkqvera elasticità"cite-ref-0-5-2[5] dei cristallini. Inoltre, a causa del precoce stiramento delle catene, causato da un ulteriore allungamento quando queste sono già state allineate, gli elastomeri hanno un comportamento elastico non lineare.cite-ref-0-5-3[5]

I materiali cellulari, come il mwnalegno, reagiscono in modo differente alla mwnqcompressione e alla mwngtrazione. Grazie alla presenza di cavità nel materiale, la compressione mostra completa mwnwrigidità fino a quando le pareti di tali cavità non sono soggette a inflessione elastica, che permette di avere una notevole deformazione senza grande incremento di sforzo. Tali deformazioni inoltre, sono in gran parte recuperabili, ma una volta avvenute riportano il corpo a uno stato di rigidità, essendosi annullate le cavità. D'altra parte, queste non hanno la stessa influenza sulla trazione, che non permette la flessione elastica delle pareti nello stesso modocite-ref-0-5-4[5].

Per studiarne il comportamento se sottoposti a sforzo, i materiali possono essere modellati come privi di struttura interna e costituiti da un continuo solido. Rappresentando il corpo in un mwpwsistema di riferimento cartesiano, si può indicare la mwqaposizione di ogni suo punto tramite il mwqqvettore posizione: mwqg x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3})} ed il loro spostamento con il vettore mwqw u = ( u 1 , u 2 , u 3 ) {\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2},u_{3})} . Il vettore spostamento descrive come si deforma il corpo sotto carico, infatti: mwra d l = d x 1 2 + d x 2 2 + d x 3 2 {\displaystyle dl={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}} è la mwrqdistanza cartesiana fra due punti del corpo e mwrg d l ′ = ( d x 1 + d u 1 ) 2 + ( d x 2 + d u 2 ) 2 + ( d x 3 + d u 3 ) 2 {\displaystyle dl'={\sqrt {(dx_{1}+du_{1})^{2}+(dx_{2}+du_{2})^{2}+(dx_{3}+du_{3})^{2}}}} è la stessa distanza dopo che il corpo si sia deformato ed è chiaramente funzione di mwrw u {\displaystyle \mathbf {u} } cite-ref-1-8-0[8]. Si introduce la grandezza mwta ϵ ϵ i j = 1 2 ( ∂ ∂ u i ∂ ∂ x j + ∂ ∂ u j ∂ ∂ x i ) {\displaystyle \epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)} detta mwtqdeformazione, che al variare di mwtg i , j = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i,j=1,2,3} forma un mwtwtensore di rango 2, detto tensore delle deformazioni: mwua ( ϵ ϵ 11 ϵ ϵ 12 ϵ ϵ 13 ϵ ϵ 21 ϵ ϵ 22 ϵ ϵ 23 ϵ ϵ 31 ϵ ϵ 32 ϵ ϵ 33 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\epsilon _{11}&\epsilon _{12}&\epsilon _{13}\\\epsilon _{21}&\epsilon _{22}&\epsilon _{23}\\\epsilon _{31}&\epsilon _{32}&\epsilon _{33}\end{pmatrix}}} dove i termini diagonali mwuq ϵ ϵ i i {\displaystyle \epsilon _{ii}} con mwug i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} sono dette deformazioni normali e descrivono gli allungamenti o le contrazioni, le restanti mwuw ϵ ϵ i j {\displaystyle \epsilon _{ij}} con mwva i ≠ ≠ j {\displaystyle i\neq j} sono detti scorrimenti e descrivono la variazione di forma, quindi degli angoli, rispetto al riferimento cartesianocite-ref-1-8-1[8].

Lo stato di sforzo è generalmente, e nella maggior parte dei casi, mwxwtridimensionalecite-ref-9[9]. Per studiarlo si sfrutta il mwzaTeorema di Cauchy ponendo una terna cartesiana sul mwzqpunto mwzg O {\displaystyle O} sotto studio e tagliando il corpo con un mwzwpiano inclinato di mw0anormale mw0q n {\displaystyle {\textbf {n}}} a distanza infinitesima mw0g h {\displaystyle h} da mw0w O {\displaystyle O} , che individua insieme ai tre piani di riferimento un mw1atetraedro, detto di Cauchy, rappresentato in figura. La faccia di normale mw1q n {\displaystyle {\textbf {n}}} ha mw1gsuperficie pari a mw1w d A {\displaystyle dA} , mentre le altre, di normale mw2a x {\displaystyle x} mw2q y {\displaystyle y} e mw2g z {\displaystyle z} , hanno superficie rispettivamente pari a mw2w n x d A = d A 1 {\displaystyle n_{x}dA=dA_{1}} , mw3a n y d A = d A 2 {\displaystyle n_{y}dA=dA_{2}} e mw3q n z d A = d A 3 {\displaystyle n_{z}dA=dA_{3}} dove mw3g n x {\displaystyle n_{x}} , mw3w n y {\displaystyle n_{y}} e mw4a n z {\displaystyle n_{z}} sono i mw4qcoseni direttori di mw4g n {\displaystyle {\textbf {n}}} . Il generico sforzo agente sul piano di normale mw4w n {\displaystyle {\textbf {n}}} è mw5a T ( n ) {\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} } , e sulle altre facce mw5q T ( e 1 ) {\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} } , mw5g T ( e 2 ) {\displaystyle \mathbf {T^{(e_{2})}} } e mw5w T ( e 3 ) {\displaystyle \mathbf {T^{(e_{3})}} } , che per convenzione sono considerati positivi se entranti e quindi il meno sta ad indicare che sono uscenti dal volume mw6ainfinitesimo. Per studiare il generico stato di sforzo mw6q T ( n ) {\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} } di un punto appartenente al corpo basta imporre l'mw6gequilibrio statico nel tetraedro (I equazione cardinale della mw6wstatica):

mw7q T ( n ) d A − − T ( e 1 ) d A 1 − − T ( e 2 ) d A 2 − − T ( e 3 ) d A 3 = 0 {\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} dA-\mathbf {T^{(e_{1})}} dA_{1}-\mathbf {T^{(e_{2})}} dA_{2}-\mathbf {T^{(e_{3})}} dA_{3}=0}

che nel caso siano noti i tre vettori mw7w T ( e 1 ) {\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} } , mw8a T ( e 2 ) {\displaystyle \mathbf {T^{(e_{2})}} } e mw8q T ( e 3 ) {\displaystyle \mathbf {T^{(e_{3})}} } si può determinare lo sforzo mw8g T ( n ) {\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} } in qualsiasi punto del corpo.

Si possono ora proiettare tutti e tre i vettori mw9a T ( e 1 ) {\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} } , mw9q T ( e 2 ) {\displaystyle \mathbf {T^{(e_{2})}} } e mw9g T ( e 3 ) {\displaystyle \mathbf {T^{(e_{3})}} } nelle tre direzioni mw9w x 1 {\displaystyle x_{1}} , mw-a x 2 {\displaystyle x_{2}} e mw-q x 3 {\displaystyle x_{3}} ed il vettore mw-g T ( n ) {\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} } nella direzione normale e mw-wtangenziale del piano di normale mw-a n {\displaystyle {\textbf {n}}} , ottenendo:

mw-g T ( n ) ⋅ ⋅ n = σ σ n T ( n ) ⋅ ⋅ t = τ τ n {\displaystyle \mathbf {T^{(n)}} \cdot \mathbf {n} =\sigma _{n}\quad \mathbf {T^{(n)}} \cdot \mathbf {t} =\tau _{n}}

mwaqa T ( e 1 ) = ( σ σ 11 σ σ 12 σ σ 13 ) T ( e 2 ) = ( σ σ 21 σ σ 22 σ σ 23 ) T ( e 3 ) = ( σ σ 31 σ σ 32 σ σ 33 ) {\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {T^{(e_{2})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {T^{(e_{3})}} ={\begin{pmatrix}\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{pmatrix}}}

dove due delle tre componenti saranno tangenziali alla faccia di applicazione dello sforzo e la rimanente sarà normale alla faccia. Si compone infine il tensore degli sforzi, che descrive il generico stato di sforzo:

mwaqm σ σ i j = ( T ( e 1 ) T ( e 2 ) T ( e 3 ) ) = ( σ σ 11 σ σ 12 σ σ 13 σ σ 21 σ σ 22 σ σ 23 σ σ 31 σ σ 32 σ σ 33 ) {\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{pmatrix}{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{1})}} }\\{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{2})}} }\\{\displaystyle \mathbf {T^{(e_{3})}} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{pmatrix}}}

La mwaqydensità di energia di deformazione è l'mwaqcenergia elastica immagazzinata dal materiale per unità di volume, e vale la relazione: mwaqg d ⁡ ⁡ U = σ σ i j d ϵ ϵ i j {\displaystyle \operatorname {d} U=\sigma _{ij}d\epsilon _{ij}} ovvero l'incremento della densità di energia di deformazione mwaqk U {\displaystyle U} è pari al mwaqolavoro svolto dagli sforzi mwaqs σ σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}} per alterare le deformazioni mwaqw ϵ ϵ i j {\displaystyle \epsilon _{ij}} . Si ricava allora che: mwaq0 σ σ i j = ∂ ∂ U ∂ ∂ ϵ ϵ i j {\displaystyle \sigma _{ij}={\partial U \over \partial \epsilon _{ij}}} cite-ref-1-8-2[8].

La relazione mwarm d ⁡ ⁡ U = σ σ i j d ϵ ϵ i j {\displaystyle \operatorname {d} U=\sigma _{ij}d\epsilon _{ij}} può essere sviluppata in serie con Taylor nell'intorno di mwarq U 0 = 0 {\displaystyle U_{0}=0} nel caso di solido lineare e di stato iniziale scarico ed indeformato, ovvero con mwaru ϵ ϵ i j , 0 = σ σ i j , 0 = 0 {\displaystyle \epsilon _{ij,0}=\sigma _{ij,0}=0} , ottenendo:

mwarc U = 1 2 ∑ ∑ i j k l c i j k l ϵ ϵ i j ϵ ϵ k l {\displaystyle U={\frac {1}{2}}\sum _{ijkl}c_{ijkl}\epsilon _{ij}\epsilon _{kl}} alla quale se applichiamo mwarg σ σ i j = ∂ ∂ U ∂ ∂ ϵ ϵ i j {\displaystyle \sigma _{ij}={\partial U \over \partial \epsilon _{ij}}} otteniamo la legge di Hooke generalizzata: mwark σ σ i j = ∑ ∑ k l c i j k l ϵ ϵ k l {\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{kl}c_{ijkl}\epsilon _{kl}} che nel caso di materiale mwaroisotropo divienecite-ref-1-8-3[8]:

mwasa ( σ σ 11 σ σ 22 σ σ 33 σ σ 23 σ σ 31 σ σ 12 ) = E ( 1 + ν ν ) ( 1 − − 2 ν ν ) ( 1 − − ν ν ν ν ν ν 0 0 0 ν ν 1 − − ν ν ν ν 0 0 0 ν ν ν ν 1 − − ν ν 0 0 0 0 0 0 1 − − 2 ν ν 0 0 0 0 0 0 1 − − 2 ν ν 0 0 0 0 0 0 1 − − 2 ν ν ) ( ϵ ϵ 11 ϵ ϵ 22 ϵ ϵ 33 ϵ ϵ 23 ϵ ϵ 31 ϵ ϵ 12 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}={\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{pmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&1-2\nu &0&0\\0&0&0&0&1-2\nu &0\\0&0&0&0&0&1-2\nu \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\epsilon _{11}\\\epsilon _{22}\\\epsilon _{33}\\\epsilon _{23}\\\epsilon _{31}\\\epsilon _{12}\end{pmatrix}}}

dove mwasi E {\displaystyle E} è il mwasmmodulo elastico e mwasq ν ν {\displaystyle \nu } è il mwasucoefficiente di Poisson.

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